已知函數(shù)f(x)=lnx+ax+1,a∈R.
(1)求f(x)在x=1處的切線方程.
(2)若不等式f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.
(1) y=(a+1)x   (2) (-∞,-1]
(1)∵x>0,f'(x)=+a,
∴f'(1)=a+1,切點是(1,a+1),
所以切線方程為y-(a+1)=(a+1)(x-1),
即y=(a+1)x.
(2)方法一:∵x>0,f'(x)=.
①當(dāng)a≥0時,x∈(0,+∞),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,顯然當(dāng)x>1時,f(x)>0,f(x)≤0不恒成立.
②當(dāng)a<0時,x∈(0,-),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
x∈(-,+∞),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(x)極大值=f(-)=ln(-)≤0,
∴a≤-1,
所以不等式f(x)≤0恒成立時,a的取值范圍是(-∞,-1].
方法二:∵x>0,所以不等式f(x)≤0恒成立,等價于ax≤-lnx-1,即a≤,
令h(x)=,
則h'(x)=-+=,
當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(1,+∞)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
∴h(x)min=h(x)極小值=h(1)=-1,∴a≤-1.
所以不等式f(x)≤0恒成立時,a的取值范圍是(-∞,-1].
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，求的最小值；
（2）在區(qū)間（1,2）內(nèi)任取兩個實數(shù)p，q，且p≠q,若不等式>1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：（其中）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù).其中.
（1）若曲線y＝f(x)與y=g(x)在x＝1處的切線相互平行,求兩平行直線間的距離;
（2）若f(x)≤g(x)－1對任意x>0恒成立,求實數(shù)的值;
（3）當(dāng)<0時，對于函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)+1,記在h(x)圖象上任取兩點A、B連線的斜率為,若,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a為實數(shù)．
(1)若f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍；
(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)f(x)＝lnx－ (m∈R)在區(qū)間[1，e]上取得最小值4，則m＝________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.
(1)試問函數(shù)f(x)能否在x＝－1時取得極值？說明理由；
(2)若a＝－1，當(dāng)x∈[－3,4]時，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個公共點，求c的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每日的成本C(單位:元)與日產(chǎn)量x(單位:噸)滿足函數(shù)關(guān)系式C=10000+20x,每日的銷售額R(單位:元)與日產(chǎn)量x滿足函數(shù)關(guān)系式R=
已知每日的利潤y=R-C,且當(dāng)x=30時,y=-100.
(1)求a的值.
(2)求當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時,每日的利潤可以達(dá)到最大,并求出最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直線m:y=kx+9,且f′(-1)=0.
(1)求a的值.
(2)是否存在k的值,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是曲線y=g(x)的切線?如果存在,求出k的值;如果不存在,說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為(　　)
A．2B．-C．4D．-

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