Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分別為AA₁和BB₁的中點(diǎn)，那么直線CM與D₁N所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：取C₁C的中點(diǎn)P，連接A₁P，將MC平移到A₁P，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠A₁OD₁是異面直線CM與D₁N所成的角，在三角形A₁OD₁中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．

解答： 解：取C₁C的中點(diǎn)P，連接A₁P
∵A₁M∥CP，且A₁M=/CP，
∴四邊形A₁MCP是平行四邊形
∴A₁P∥MC，則∠A₁OD₁是異面直線CM與D₁N所成的角
∵正方體的棱長為1，
∴A₁P=MC=

AC2+AM2

=

2+ 1 4

=

9 4

=

3

2

，D₁O=A₁O=

3

4

cos∠A₁OD₁=

( 3 4 )2+( 3 4 )2-1

2× 3 4 × 3 4

=

1

9

，
即直線CM與D₁N所成角的余弦值是

1

9

故答案為：

1

9

點(diǎn)評：本題主要考查異面直線所成的求解，根據(jù)直線平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．本題也可以使用坐標(biāo)法進(jìn)行求解．