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給出下列命題:
(1)函數f(x)=4sin(2x+
π
3
)的圖象關于點(-
π
6
,0
)對稱;
(2)函數g(x)=-3sin(2x-
π
3
)在區(qū)間(-
π
12
,
12
)內是增函數;
(3)函數h(x)=sin(
2x
3
x-
2
)是偶函數;
(4)存在實數x,使sinx+cosx=
π
3

其中正確的命題的序號是
(1)(3)(4)
(1)(3)(4)
分析:根據點(-
π
6
,0
)是函數圖象與x軸的交點,故函數圖象關于點(-
π
6
,0
)對稱,故(1)正確;
由 2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
2
,k∈z,可得y=sin(2x-
π
3
) 的增區(qū)間,可得(2)不正確;
對于(3),利用誘導公式化簡為y=-cosx,該函數是偶函數;(3)正確;
(4)根據輔助角公式,我們可將sinx+cosx化為
2
sin(x+
π
2
),再由正弦型函數的值域,可以判斷(4)的真假.
解答:解:當x=-
π
6
時,函數f(x)=4sin(2x+
π
3
)=0,故點(-
π
6
,0
)是函數圖象與x軸的交點,故函數圖象關于點(-
π
6
,0
)對稱,故(1)正確.
(2)由于函數g(x)=-3sin(2x-
π
3
),由 2kπ+
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
2
,k∈z,
可得kπ+
12
≤x≤kπ+
11π
12
,k∈z,取k=-1,得-
12
≤x≤-
π
12

故函數的增區(qū)間為[-
12
,-
π
12
],故(2)不正確.
(3)由于h(x)=sin(
2x
3
-
2
)=cos
2x
3
,從而h(-x)=h(x),得h(x)是偶函數,∴命題(3)正確;
(4)中令y=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)則-
2
≤y≤
2

∵-
2
π
3
2
,∴存在實數x,使得sinx+cosx=
π
3
;即(4)正確.
其中正確的命題的序號是 (1)(3)(4).
故答案為:(1)(3)(4).
點評:本題主要考查正弦函數的奇偶性、對稱性、單調性,判斷命題的真假,以及y=Asin(ωx+∅)圖象與性質,掌握y=Asin(ωx+∅)圖象和性質是解題的關鍵.屬于中檔題.
練習冊系列答案
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給出下列命題:
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(3)已知命題p:
1
x 2-3x+2
>0
,則¬p:
1
x 2-3x+2
≤0

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1
4
,4)

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(2),(4)
(2),(4)

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其中正確的命題的序號是
(3)
(3)

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其中真命題的個數為(  )

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