Question

已知角α的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P，且α∈[0，π）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(

1

2

，

3

2

)，求使得函數(shù)f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有兩個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)k的取值范圍

0＜k＜

1

2

．

Answer 1

分析：利用向量的數(shù)量積和兩角和的正弦公式可得f(α)=-sin(α+

π

6

)+1-k，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性即可得出．

解答：解：f（α）=（cosα，sinα）•(cosα-

1

2

，sinα-

3

2

)-k=cosα(cosα-

1

2

)+sinα(sinα-

3

2

)-k=-

1

2

cosα-

3

2

sinα+1-k=-sin(α+

π

6

)+1-k．
化為sin(α+

π

6

)=1-k，
∵α∈[0，π），∴(α+

π

6

)∈[

π

6

，

7π

6

)，∴sin(α+

7π

6

)∈(-

1

2

，1]，
要使得函數(shù)f(a)=

OM

•

MP

-k的恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則0＜k＜

1

2

．
故答案為0＜k＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算、兩角和的正弦公式及其三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．