Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁＝a，a_n+1＝ca_n＋1－c，n∈N^*，其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0．

(Ⅰ)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)設(shè)，b_n＝n(1－a_n)，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；

(Ⅲ)若0＜a_n＜1對(duì)任意n∈N^*成立，證明0＜c≤1．

Answer 1

答案：
解析：

解：本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及不等式的證明等；考查運(yùn)算能力、綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．本小題滿分12分． 　　(Ⅰ)方法一： 　　 　　當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 　　，即． 　　當(dāng)時(shí)，仍滿足上式． 　　數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 　　方法二： 　　由題設(shè)得：當(dāng)時(shí)， 　　 　　 　　時(shí)，也滿足上式． 　　數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得 　　 　　 　　 　　 　　(Ⅲ)由(Ⅰ)知 　　若，則 　　　 　　由對(duì)任意成立，知． 　　下面證，用反證法． 　　方法一：假設(shè)．由函數(shù)的函數(shù)圖象知，當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)，趨于無(wú)窮大． 　　不能對(duì)恒成立，導(dǎo)致矛盾．． 　　 　　方法二：假設(shè)，， 　　即恒成立(*) 　　為常數(shù)，(*)式對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾， 　　 　　試題解析：本題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列以及不等式等基本知識(shí)，考查學(xué)生的探索、化歸的數(shù)學(xué)思想與推理能力．本題屬難題． 　　高考考點(diǎn)：數(shù)列、等比數(shù)列

提示：

兩個(gè)小題都運(yùn)用到了數(shù)列當(dāng)中經(jīng)常涉及到的“通性通法”．在數(shù)列有關(guān)問(wèn)題中，化歸思想非常重要，怎么想到轉(zhuǎn)化和如何轉(zhuǎn)化是解決有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵：“怎么想到轉(zhuǎn)化”，主要是頭腦具備相關(guān)知識(shí)的前提下，有“注意觀察結(jié)構(gòu)特征”的觀念就可以；“如何轉(zhuǎn)化”，主要是經(jīng)過(guò)恒等變形“補(bǔ)”結(jié)構(gòu)差異或依據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)為轉(zhuǎn)化依據(jù)．