Question

（2011•洛陽二模）已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-2，0）為左焦點，點M（

2

，

3

）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F₁作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設(shè)L₃與橢圓C相交于點A，B．l2 與橢圓C相交于點D．E，求

AD

•

EB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可求橢圓C的右焦點F₂，然后由點M在橢圓上，結(jié)合橢圓定義可知2a=MF₁+MF₂，可求a，進而可求b，即可求解
（2）設(shè)直線l₁的方程x=ny-2（n≠0），聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求y₁+y₂，y₁y₂，由l₁⊥l₂，可求直線l₂的方程，設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），同理可求y₃+y₄，y₃y₄，然后利用

AD

•

EB

=（

AF1

+

F1D

）•（

EF1

+

F1B

）=

AF1

•

EF1

+

AF1

•

F1B

+

F1D

•

EF1

+

F1D

•

F1B

，利用向量的數(shù)量積的坐標表示即可求解，利用基本不等式可求最小值

解答：解：（1）∵橢圓C的左焦點F₁（-2，0）
∴c=2，右焦點F₂（2，0）
∵點M（

2

，

3

）在橢圓上
∴2a=MF₁+MF₂=

(2+ 2 )2+3

+

( 2 -2)2+3

=

9+4 2

+

9-4 2

=4

2

∴a=2

2

，b=2
∴橢圓C的方程

x2

8

+

y2

4

=1
（2）設(shè)直線l₁的方程x=ny-2（n≠0）
由

x=ny-2 x2 8 + y2 4 =1

可得（2+n²）y²-4ny-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=

4n

2+n2

，y₁y₂=-

4

2+n2

∵l₁⊥l₂，
∴直線l₂的方程x=-

1

n

y-2（n≠0）
設(shè)D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），則y₃+y₄=

- 4 n

(- 1 n )2+2

=

-4n

1+2n2

，y₃y₄=-

4n2

2n2+1

∵

AD

•

EB

=（

AF1

+

F1D

）•（

EF1

+

F1B

）
=

AF1

•

EF1

+

AF1

•

F1B

+

F1D

•

EF1

+

F1D

•

F1B

=（-2-x₁，-y₁）•（2+x₂，y₂）+（2+x₃，y₃）•（-2-x₄，-y₄）
=-（x₁x₂+2x₁+2x₂+4+y₁y₂）-（x₃x₄+2x₃+2x₄+4+y₃y₄）
∵x₁x₂+2x₁+2x₂+4+y₁y₂=（ny₁-2）（ny₂-2）+2ny₁-4+2ny₂-4+4+y₁y₂
=（1+n²）y₁y₂
同理（x₃x₄+2x₃+2x₄+4+y₃y₄）=

1+n2

n2

y3y4
∴

AD

•

EB

=-[（1+n²）y₁y₂+

1+n2

n2

y₃y₄]
=4（

1+n2

2+n2

+

1+n2

2n2+1

）
=(1+n2)•

12(1+n2)

(n2+2)(2n2+1)

=

12(1+n2)2

(2+n2)(1+2n2)

≥

12(1+n2)2

( 2+n2+2n2+1 2 )2

=

16

3

當(dāng)且僅當(dāng)n²+2=2n²+1即n=±1時

AD

•

EB

取得最小值

16

3

點評：本題主要考查了利用橢圓的定義及性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓相交關(guān)系的應(yīng)用及方程的根與系數(shù)關(guān)系、向量的數(shù)量積的坐標表示的應(yīng)用，屬于知識的綜合應(yīng)用