已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
夾角為
3
4
π，且
m
•
n
=-1．
（1）若向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，其中A，C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，試求|
n
+
p
|的取值范圍．
（2）若A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，A≤B≤C，設f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2，f（A）的最大值為5-2
2
，關于x的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相異實根，求m的取值范圍．
分析：由題意先求出向量
n
的坐標滿足有x2+y2=1
（1）由向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，故有
n
•
q
=0，由此解出向量
n
的坐標，代入|
n
+
p
|2，用相關公式求其范圍，進而求出|
n
+
p
|∈[
2
2
，
5
2
）
（2）先解出B=
π
3
，確定出A的范圍，再對f（A）用換元法變形，求出其最值的表達式，判斷并求出其最大值是1-2
2
+a2，又已知f（A）的最大值為5-2
2
，令兩者相等解出參數(shù)a的值，再由sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0，
π
2
]上有相異實根，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)m滿足的范圍．
解答：解：（1）令
n
=（x，y），則有cos
3
4
π=
m
•
n
|m
|•|
n|
=-
2
2

由
m
•
n
=-1得|
m
|•|
n
|=
2
，又向量
m
=(1，1)，故其模為
2
，
則向量
n
人模為1．則有x2+y2=1
向量
n
與向量
q
=（1，0）的夾角為
π
2
，故有
n
•
q
=0，即x=0，故y=±1
又
m
•
n
=-1故y=-1，則
n
=（0，-1），
 向量
p
=(cosA，2cos2
C
2
)，即
p
=(cosA，1+cosC)
又A，C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列 故B=
π
3

|
n
+
p
|2=cos2A+cos2C=cos2A+cos2（
2π
3
-A）=1+
1
2
cos（2A+
π
3
）
由A∈（0，
2π
3
），得2A+
π
3
∈（
π
3
，
5π
3
）得cos（2A+
π
3
）∈[-1，
1
2
）
|
n
+
p
|2∈[
1
2
，
5
4
）故|
n
+
p
|∈[
2
2
，
5
2
）
（2）∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且A，B，C依次成等差數(shù)列，A≤B≤C，∴B=
π
3

∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a2=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a2 
令t=sinA+cosA=
2
sin（A+
π
4
），則2sinAcosA=t2-1
由于A∈（0，
π
3
]，A+
π
4
∈（
π
4
，
7π
12
]，故t=
2
sin（A+
π
4
）∈（1，
2
]
故有f（A）=t2-1-2t+a2=t2-2t+a2-1，t∈（1，
2
]
當t=
2
時取到最大值為1-2
2
+a2
又f（A）的最大值為5-2
2
，故1-2
2
+a2=5-2
2

故a2=4，又a＞0，故a=2
又關于的方程sin(ax+
π
3
)=
m
2
(a＞0)在[0，
π
2
]上有相異實根
即方程sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0，
π
2
]上有相異實根
因為x∈[0，
π
2
]，故y=sin(2x+
π
3
)在（0，
π
12
）上是增函數(shù)，在（
π
12
，
π
2
）上是減函數(shù)
方程sin(2x+
π
3
)=
m
2
在[0，
π
2
]上有相異實根
故
m
2
∈[
3
2
，1），
故m∈[
3
，2）．
點評：本題考點是三角函數(shù)的最值，綜合利用二次函數(shù)的最值，向量的運算，三角函數(shù)的恒等變形，三角函數(shù)的最值，及三角函數(shù)的圖象，涉及到知識廣度高，綜合性強，做題時要有耐心地對題目中所給的每一個條件細心、嚴謹轉(zhuǎn)化，對每一個條件所蘊含的本質(zhì)進行挖掘，逐步向結論靠近，如本題中第二小題，逐層推進比較明顯，答題過程中仔細體會此思維脈絡．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，cos2
x
4
)，記f(x)=
m
•
n
，
（1）求f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=
1+
3
2
，試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(λ+1，1)，
n
=(λ+2，2)，若（
m
+
n
)⊥(
m
-
n
)⊥(
m
-
n
)，則λ=
-3
-3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
的夾角為
3π
4
，且
m
•
n
=-1．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
與
q
=(1，0)共線，向量
p
=(2cos2
C
2
，cosA)，其中A、C為△ABC的內(nèi)角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，求|
n
+
p
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(1，1)，向量
n
與向量
m
的夾角為
3π
4
，且
n
•
m
=-1
（1）求向量
n
的坐標；
（2）若向量
n
與向量
i
的夾角為
π
2
，向量
p
=(x2，a2)，
q
=(a2，x)，求關于x的不等式(
p
+
n
)•
q
＜1的解集．

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