Question

設f（x）是定義在R上的函數，若f（0）=

1

8

，且對任意的x∈R，滿足f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點：數列的求和,抽象函數及其應用,函數的值

專題：函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：通過函數的遞推關系式，寫出f（2014），得到一個等比數列，然后求出和值即可．

解答： 解：∵f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，
∴f（2014）=f（2010）+10×3²⁰¹⁰
=f（2006）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶
=…
=f（2）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶+…+10×3²
=f（2）+10（3²⁰¹⁰+3²⁰⁰⁶+…+3²）
=f（0）+3+（3²+3⁶+…+3²⁰¹⁰）
=f（0）+3⁰+

90(32012-1)

34-1

=

1

8

+1+

32014-9

8

=

32014

8

．
故答案為：

32014

8

．

點評：本題考查函數值的求法，等比數列求和的應用，數列與函數的綜合試題，考查計算能力．