Question

17．已知定義在[-2，2]上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，且$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，若f（1-t）+f（1-t²）＜0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-1，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在其定義域上為減函數(shù)，可以將f（1-t）+f（1-t²）＜0變形為f（1-t）＜f（t²-1），分析可得$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-t≤2}\\{-2≤1-{t}^{2}≤2}\\{1-t＞1-{t}^{2}}\end{array}\right.$，解可得t的范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意：定義在[-2，2]上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
又由且$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則函數(shù)f（x）在其定義域上為減函數(shù)，
若f（1-t）+f（1-t²）＜0，則有f（1-t）＜f（t²-1），
則有$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-t≤2}\\{-2≤1-{t}^{2}≤2}\\{1-t＞1-{t}^{2}}\end{array}\right.$，解可得-1≤t＜1，
即實(shí)數(shù)t的取值范圍為[-1，1）；
故答案為：[-1，1）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意不能忽略函數(shù)的定義域．