Question

設(shè)的兩個極值點(diǎn)．
（1）若x₁=-2，x₂=1，求a，b的值；
（2）若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若x₁²+x₂²=6+4b²，且b＞0，設(shè)，T_n為數(shù)列a_n的前n項和，求證：T_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a，利用條件把x₁=-2，x₂=1轉(zhuǎn)化為方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求a，b的值；
（2）先利用其導(dǎo)函數(shù)f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a以及a＞0得f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，故有x₁≤x≤x₂時，f（x）≥f（x₂）=f（a）；不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0①，再利用f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1②，①②相結(jié)合即可求實數(shù)b的取值范圍；
（3）先利用x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根以及x₁²+x₂²=6+4b²得b²=4a²，進(jìn)而得b=2a，代入得=即可證明結(jié)論．
解答：解：（1）∵
∴f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a（2分）
依題意x₁=-2，x₂=1是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根
則
解之可得：（4分）
（2）由（1）f'（x）=ax²+bx-（2b²+1）a＞0得x＞x₁或x＜x₂
∴f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減
∴x₁≤x≤x₂時，f（x）≥f（x₂）=f（a）（5分）
由題f'（a）=a³+ba-（2b²+1）a=0即a²=2b²-b+1（6分）
若x₁≤x≤x₂，且x₂=a，不等式6f（x）+11a²≥0恒成立?6f（a）+11a²≥0（7分）
?2a⁴+3ba²-6（2b²+1）a²+11a²≥0?2a²+3b-12b²+5≥0?2（2b²-b+1）+3b-12b²+5≥0?8b²-b-7≤0?
故實數(shù)b的取值范圍為（9分）
（3）依題意x₁，x₂是方程ax²+bx-（2b²+1）a=0的兩根，則
而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
∴∴b²=4a²（10分）
又a＞0，b＞0，
∴b=2a而f'（n）=an²+bn-（2b²+1）a=an²+2an-（8a³+a）
∴（11分）

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用和數(shù)列的求和問題，是對知識的綜合考查，屬于難題．