Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左焦點(diǎn)為F（-1，0），過(guò)D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在y軸上，是否存在定點(diǎn)E，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意列關(guān)于a，c的方程組，求解方程組得a，c的值，結(jié)合隱含條件求得b²，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出過(guò)D且斜率為k的直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的橫縱坐標(biāo)的和與積，假設(shè)存在點(diǎn)E（0，m），使$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒為定值，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系列式求得m值得答案．

解答 解：（1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\ c=1\end{array}\right.$，解得a²=2，c²=1，
∴b²=a²-c²=1，
∴所求的橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）設(shè)點(diǎn)D（0，2），且斜率為k的直線l的方程為y=kx+2．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，得1+2k²）x²+8kx+6=0．
則△=64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0．
解得：$k＜-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$或$k＞\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{6}{{1+2{k^2}}}$，
又${y_1}{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4=-\frac{{2{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$，
${y_1}+{y_2}=（k{x_1}+2）+（k{x_2}+2）=k（{x_1}+{x_2}）+4=\frac{4}{{2{k^2}+1}}$．
設(shè)存在點(diǎn)E（0，m），則$\overrightarrow{AE}=（-{x_1}，m-{y_1}）$，$\overrightarrow{BE}=（-{x_2}，m-{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}={x_1}{x_2}+{m^2}-m（{y_1}+{y_2}）+{y_1}{y_2}$=$\frac{6}{{2{k^2}+1}}+{m^2}-m•\frac{4}{{2{k^2}+1}}-\frac{{2{k^2}-4}}{{2{k^2}+1}}$=$\frac{{（2{m^2}-2）{k^2}+{m^2}-4m+10}}{{2{k^2}+1}}$，
要使得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BE}=t$（t為常數(shù)），只要$\frac{{（2{m^2}-2）{k^2}+{m^2}-4m+10}}{{2{k^2}+1}}=t$，
從而（2m²-2-2t）k²+m²-4m+10-t=0，
即$\left\{\begin{array}{l}2{m^2}-2-2t=0\\{m^2}-4m+10-t=0\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（1）\\（2）\end{array}$，解得m=$\frac{11}{4}$，t=$\frac{105}{16}$．
故在y軸上，存在定點(diǎn)E（$\frac{11}{4}，0$），使$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$恒為定值$\frac{105}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在解題中的應(yīng)用，是中檔題．