Question

若函數(shù)f（x）=|a^x+x²-x•lna-m|-2，（a＞0且a≠1）有兩個零點，則m的取值范圍（　�。�

• A、（-1，3）
• B、（-3，1）
• C、（3，+∞）
• D、（-∞，-1）

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：令g（x）=a^x+x²-x•lna，先討論a＞1，0＜a＜1求出單調(diào)區(qū)間，進而判斷函數(shù)g（x）的極小值，再由y=|g（x）-m|-2有兩個零點，所以方程g（x）=m±2有2個根，而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，即可得到m的取值范圍．

解答： 解：令g（x）=a^x+x²-x•lna，
g′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①當a＞1，x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，則g′（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
x∈（-∞，0）時，lna＞0，a^x-1＜0，所以g′（x）＜0，
則函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
②當0＜a＜1時，x＞0，lna＜0，a^x-1＜0，所以g′（x）＞0，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
當x∈（-∞，0）時，lna＜0，a^x-1＞0，所以g′（x）＜0，
則函數(shù)g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
故當a＞0且a≠1時，g（x）在x＜0時遞減；g（x）在x＞0時遞增，
則x=0為g（x）的極小值點，且為最小值點，且最小值g（0）=1．
又函數(shù)f（x）=|g（x）-m|-2有兩個零點，所以方程g（x）=m±2有二個根，
而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，解得m∈（-1，3），
故選A．

點評：本題考查函數(shù)的零點，用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)極值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．