Question

已知函數f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=-x²+2bx-4，若對任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂） 恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f′（x），在函數定義域內利用導數與函數單調性關系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（Ⅱ）由題意不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，可轉化為f（x）_min≥g（x）_max，或分離出參數后再求函數最值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=lnx-

1

4

x+

3

4x

-1的定義域是（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

-

1

4

-

3

4x2

=

4x-x2-3

4x2

=

-(x-1)(x-3)

4x2

，
由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間是（1，3）；單調遞減區(qū)間是（0，1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，3）上單調遞增，
所以當x∈（0，2）時，f(x)min=f(1)=-

1

2

，
對任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
問題等價于-

1

2

≥g（x）對任意x∈[1，2]恒成立，即-

1

2

≥-x2+2bx-4恒成立．
不等式可變?yōu)閎≤

x2+ 7 2

2x

=

x

2

+

7

4x

，
因為x∈[1，2]，所以

x

2

+

7

4x

≥2

x 2 × 7 4x

=

14

2

，當且僅當

x

2

=

7

4x

，即x=

14

2

時取等號．
所以b≤

14

2

，
故實數b的取值范圍是（-∞，

14

2

]．

點評：本題考查了利用導數研究函數單調性、求函數最值問題．恒成立問題常轉化為函數最值問題或分離參數后再求最值．