Question

8．已知函數(shù)f（x）=2+log₃x，x∈[1，9]．
（1）求f（x）的值域；
（2）求函數(shù)y=f（x²）+[f（x）]²的定義域及值域．

Answer 1

分析 （1）由對數(shù)的性質(zhì)直接求其值域
（2）先求出f（x²）、[f（x）]²的表達式，在求其y的定義域和值域．

解答 解：（1）∵對數(shù)的底數(shù)是3，大于1，f（x）是增函數(shù)，
∴在x∈[1，9]，當x=1時，f（x）取得最小值，即f（1）_min=2，
當x=9時，f（x）取得最大值，即f（9）_max=4，
故：f（x）的值域為[2，4]．
（2）由題意：f（x²）=2+2log₃x，定義域為x²∈[1，9]，
解得：x∈[1，3]，即定義域為x∈[1，3]．
[f（x）]²=（2+log₃x）²=4+4log₃x+（log₃x）²，定義域為x∈[1，9]．
那么：y=f（x²）+[f（x）]²=6+6log₃x+（log₃x）²，定義域為x∈[1，3]，
令log₃x=t，
∵x∈[1，3]，
∴0≤t≤1
則有：y=t²+6t+6
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：函數(shù)y開口向上，在t∈[0，1]是增函數(shù)．
∴當t=0時，y取得最小值，即y_min=6，當t=1時，y取得最大值，即y_max=13，
所以：y值域為[6，13]．
故：函數(shù)y=f（x²）+[f（x）]²的定義域為∈[1，3]，值域為[6，13]．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運用能力，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的能力．屬于基礎(chǔ)題．