Question

已知定義域?yàn)椋?，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)f（x），滿足：?x∈（0，+∞），有f（f（x）-lnx）=1，則方程f（x）=-x²+4x-2解的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，存在唯一的正實(shí)數(shù)a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1，求得a=1，可得f（x）的解析式，方程即-x²+4x-3=lnx．故方程解的個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=-x²+4x-3的圖象和函數(shù) y=lnx 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．

解答： 解：由于定義域?yàn)椋?，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)f（x）滿足f（f（x）-lnx）=1，f（x）=-x²+4x-2，
故必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1 ①，
∴f（a）-lna=a ②．
由①②求得a=1，故f（x）=1+lnx，方程f（x）=-x²+4x-2，即 1+lnx=-x²+4x-2，即-x²+4x-3=lnx．
故方程解的個(gè)數(shù)即函數(shù)y=-x²+4x-3的圖象和函數(shù) y=lnx 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)y=-x²+4x-3的圖象和函數(shù) y=lnx 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．