Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為6，且橢圓C與圓M：（x-2）²+y²=$\frac{40}{9}$的公共弦長為$\frac{4\sqrt{10}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程，
（2）過點P（0，2）作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C交于兩點A，B，試判斷在x軸上是否存在點D，使得△ADB為以AB為底邊的等腰三角形，若存在，求出點D的橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由2a=6，則a=3，由圓的方程，可得橢圓過點（2，$\frac{2\sqrt{10}}{3}$），代入橢圓方程，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，求得AB的中點M點坐標，k•k_MD=-1，即可求得m的表達式，利用基本不等式的性質，即可求得點D的橫坐標的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：2a=6，則a=3，圓M：（x-2）²+y²=$\frac{40}{9}$，圓心（2，0），半徑為$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
由題意可知：橢圓經過點（2，$\frac{2\sqrt{10}}{3}$），代入橢圓方程：$\frac{4}{9}+\frac{40}{9^{2}}=1$，解得：b²=8，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由題意可知直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：（9k²+8）x²+36kx-36=0，
x₁+x₂=-$\frac{36k}{9{k}^{2}+8}$，x₁x₂=$\frac{36}{9{k}^{2}+8}$，
假設存在點D（m，0）滿足題意，
取AB中點M（x₀，y₀）則MB⊥AB，
由x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{18k}{9{k}^{2}+8}$，則y₀=kx₀+2=$\frac{16}{9{k}^{2}+8}$，
則M（-$\frac{18k}{9{k}^{2}+8}$，$\frac{16}{9{k}^{2}+8}$），
由題意可知：k•k_MD=-$\frac{16k}{9{k}^{2}m+18k+8m}$=-1，
整理得：9k²m+2k+2m=0，
∴m=$\frac{2k}{9{k}^{2}+8}$=-$\frac{2}{9k+\frac{8}{k}}$≥-$\frac{\sqrt{2}}{12}$，
存在點D，且D點橫坐標取值范圍[-$\frac{\sqrt{2}}{12}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，中點坐標公式及基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．