設函數(shù)f（x）=ax-（1+a2）x2（a＞0）．區(qū)間I={x|f（x）＞0}，定義區(qū)間（α，β）的長度為β-α．
（1）求區(qū)間I的長度H（a）（用a表示）；
（2）若a∈[3，4]，求H（a）的最大值．
分析：（1）求出f（x）＞0解集，可得區(qū)間I長度；
（2）確定H（a）在[3，4]上的單調(diào)性，即可求出H（a）的最大值．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax-（1+a2）x2，
∴f（x）=x[a-（1+a2） x]＞0；
∵a＞0，∴
a
1+a2
＞0．
∴f（x）＞0解集為 （0，
a
1+a2
）；
∴區(qū)間I長度為H（a）=
a
1+a2
；
（2）由（1）知，H（a）=
a
1+a2
=
1
a+
1
a
，
∵g（a）=a+
1
a
在[3，4]單調(diào)遞增，
∴當a=3時，I取最大值，最大值為
3
10
．
點評：本題考查新定義，考查不等式的解法，考查函數(shù)的最值與單調(diào)性，正確理解新定義是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax+
xx-1
（x＞1），若a是從1，2，3三個數(shù)中任取一個數(shù)，b是從2，3，4，5四個數(shù)中任取一個數(shù)，求f（x）＞b恒成立的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax+b的圖象經(jīng)過點（1，7），又其反函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，0），求函數(shù)的解析式，并求f（-2）、f（
12
）的值．

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設函數(shù)f（x）=ax+bx-cx，其中a，b，c是△ABC的三條邊，且c＞a，c＞b，則“△ABC為鈍角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”（　　）

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（2009•楊浦區(qū)一模）（文）設函數(shù)f（x）=ax+1-2（a＞1）的反函數(shù)為y=f-1（x），則f-1（-1）=
-1
-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設函數(shù)f（x）=(a
x
-
1
x
)n，其中n=3
∫
2π
π
sin（π+x）dx，a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果，則f（x）的展開式中常數(shù)項是（　�。�
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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