已知m>1,直線l:x-my-=0,橢圓C:+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當(dāng)直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(1)把F2代入直線方程求得m,則直線的方程可得.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).直線與橢圓方程聯(lián)立消去x,根據(jù)判別式大于0求得m的范圍,且根據(jù)韋達定理表示出y1+y2和y1y2,根據(jù),=2,可知G(,),h(),表示出|GH|2,設(shè)M是GH的中點,則可表示出M的坐標(biāo),進而根據(jù)2|MO|<|GH|整理可得x1x2+y1y2<0把x1x2和y1y2的表達式代入求得m的范圍,最后綜合可得答案.
解答:解:(Ⅰ)解:因為直線l:x-my-=0,經(jīng)過F2,0),
所以=,得m2=2,
又因為m>1,所以m=
故直線l的方程為x-y-1=0.
(Ⅱ)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
,消去x得
2y2+my+-1=0
則由△=m2-8(-1)=-m2+8>0,知m2<8,
且有y1+y2=-,y1y2=-
由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),故O為F1F2的中點,
,=2,可知G(,),H(,
|GH|2=+
設(shè)M是GH的中點,則M(),
由題意可知2|MO|<|GH|
即4[(2+(2]<+即x1x2+y1y2<0
而x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=(m2+1)(
所以()<0,即m2<4
又因為m>1且△>0
所以1<m<2.
所以m的取值范圍是(1,2).
點評:本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓,點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知m>1,直線l:x-my-
m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當(dāng)直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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已知m>1,直線l:x-my-
m
2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2
=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點.設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H,若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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(2012•成都模擬)已知m>1,直線l:x-my-
m2
2
=0,橢圓C:
x2
m2
+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(I)當(dāng)直線l過右焦點F2時,求直線l的方程;
(II)當(dāng)直線l與橢圓C相離、相交時,求m的取值范圍;
(III)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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