【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(x+ )+cosx,x∈R,
(1)求函數(shù)f(x)的最大值,并寫出當f(x)取得最大值時x的取值集合;
(2)若α∈(0, ),f(α+ )= ,求f(2α)的值.
【答案】
(1)解:f(x)=sin(x+ )+cosx= sinx+ cosx+cosx= sinx+ cosx
= sin(x+ ),
當x+ =2kπ+ ,
即x=2kπ+ ,k∈Z時,函數(shù)f(x)取得最大值 .
此時x的取值集合是{x|x=2kπ+ ,k∈Z}
(2)解:由(1)知f(x)= sin(x+ ),
∵f(α+ )= ,
∴f(α+ )=)= sin( +α+ )= cosα= ,
∴cosα= ,
∵α∈(0, ),
∴sinα= ,
sin2α=2sinαcosα=2× = ,
cos2α=2cos2α﹣1=﹣ ,
∴f(2α)= = sin2α+ cos2α= = .
【解析】(1)利用兩角和差的正弦公式以及輔助角公式將函數(shù)f(x)進行化簡,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f(x)的最大值,并寫出當f(x)取得最大值時x的取值集合;(2)根據(jù)條件求出sinα和cosα的值,利用二倍角公式進行化簡求值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解兩角和與差的正弦公式的相關(guān)知識,掌握兩角和與差的正弦公式:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD是邊長為2的正方形,M、N分別為PB、PC的中點.
(1)證明:MN∥平面PAD;
(2)若PA與平面ABCD所成的角為45°,求四棱錐P﹣ABCD的體積V.
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【題目】已知向量 =(sinx,1), = ,函數(shù)f(x)= 的最大值為6.
(1)求A;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移 個單位,再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的 倍,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.求g(x)在[0, ]上的值域.
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【題目】《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑,如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為,圖中粗線畫出的是某幾何體毛坯的三視圖,第一次切削,將該毛坯得到一個表面積最大的長方體,第二次切削沿長方體的對角面刨開,得到兩個三棱柱,第三次切削將兩個三棱柱分別沿棱和表面的對角線刨開得到兩個鱉臑和兩個陽馬,則陽馬與鱉臑的體積之比為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知動圓與圓: 相切,且與圓: 相內(nèi)切,記圓心的軌跡為曲線.設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點, 為坐標原點,過點作的平行線交曲線于, 兩個不同的點.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)試探究和的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù),若不能,請說明理由;
(Ⅲ)記的面積為, 的面積為,令,求的最大值.
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【題目】如圖,甲船從A處以每小時30海里的速度沿正北方向航行,乙船在B處沿固定方向勻速航行,B在A北偏西105°方向用與B相距10 海里處.當甲船航行20分鐘到達C處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D處,此時兩船相距10海里.
(1)求乙船每小時航行多少海里?
(2)在C的北偏西30°方向且與C相距 海里處有一個暗礁E,周圍 海里范圍內(nèi)為航行危險區(qū)域.問:甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險?若有危險,則從有危險開始,經(jīng)過多少小時后能脫離危險?若無危險,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).
(Ⅰ)當,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為, 若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“類對稱點”,當時,試問是否存在“類對稱點”,若存在,請求出一個“類對稱點”的橫坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】設(shè)函數(shù)的定義域是,對于以下四個命題:
(1) 若是奇函數(shù),則也是奇函數(shù);
(2) 若是周期函數(shù),則也是周期函數(shù);
(3) 若是單調(diào)遞減函數(shù),則也是單調(diào)遞減函數(shù);
(4) 若函數(shù)存在反函數(shù),且函數(shù)有零點,則函數(shù)也有零點.
其中正確的命題共有
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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