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【題目】已知函數.

(Ⅰ)討論函數的單調性;

(Ⅱ)記函數的兩個零點分別為,且.已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)函數上單調遞增;在上單調遞減; (Ⅱ).

【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數的導數,通過討論的范圍,求出函數 的單調區(qū)間即可; (Ⅱ)分離參數得: ,從而可得恒成立;再令,從而可得不等式上恒成立,再令,從而利用導數化恒成立問題為最值問題即可.

試題解析:(Ⅰ)依題意,函數的定義域為,

,

時, 恒成立,故函數上單調遞增;

時,令,得;令,得;

故函數上單調遞增;在上單調遞減,

(Ⅱ)由(I)可知分別為方程的兩個根,即, ,

所以原式等價于.

因為, ,所以原式等價于

又由, 作差得, ,即.

所以原式等價于.

因為,原式恒成立,即恒成立.

,則不等式上恒成立.

,則,

時,可見時, ,所以上單調遞增,又恒成立,符合題意;

時,可見當時, ;當時, ,

所以時單調遞增,在時單調遞減.

,所以上不能恒小于0,不符合題意,舍去.

綜上所述,若不等式恒成立,只須,又,所以.

練習冊系列答案
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