Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx（1+

1

cosx

）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：

sinx

x

（1+

1

cosx

）＞2（0＜x＜

π

2

）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,正弦函數(shù)的定義域和值域,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）函數(shù)f（x）=sinx（1+

1

cosx

）=sinx+

sinx

cosx

，其定義域?yàn)閧x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}．利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=

cos3x+1

cos2x

≥0，即可得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）

sinx

x

（1+

1

cosx

）＞2（0＜x＜

π

2

）?sinx（1+

1

cosx

）-2x＞0，x∈(0，

π

2

)．
令g（x）=sinx（1+

1

cosx

）-2x，x∈(0，

π

2

)．利用導(dǎo)數(shù)和均值不等式即可得出．

解答： （I）解：函數(shù)f（x）=sinx（1+

1

cosx

）=sinx+

sinx

cosx

，其定義域?yàn)閧x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z}．
f′（x）=cosx+

cos2x+sin2x

cos2x

=

cos3x+1

cos2x

≥0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(kπ-

π

2

，kπ+

π

2

)（k∈Z）．
（II）證明：

sinx

x

（1+

1

cosx

）＞2（0＜x＜

π

2

）?sinx（1+

1

cosx

）-2x＞0，x∈(0，

π

2

)．
令g（x）=sinx（1+

1

cosx

）-2x，x∈(0，

π

2

)．
g′（x）=

cos3x+1

cos2x

-2=

cosx

2

+

cosx

2

+

1

cos2x

-2＞3

3	cosx 2 • cosx 2 • 1 cos2x

-2=

3 3 2 -2

2

＞0，
∴函數(shù)g（x）在(0，

π

2

)上單調(diào)遞增，且在x=0處連續(xù)．
∴g（x）＞g（0）=0．
∴sinx（1+

1

cosx

）-2x＞0，x∈(0，

π

2

)．
即

sinx

x

（1+

1

cosx

）＞2（0＜x＜

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式，考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．