Question

下列五個命題：
（1）S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和且S_n≠0，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數(shù)列；
（2）若{a_n}成等差數(shù)列，且常數(shù)c＞0，則數(shù)列{can}為等比數(shù)列；
（3）常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
（4）等比數(shù)列{a_n}的前和為Sn=

a1(1-qn)

1-q

；
（5）若數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=3n-c，則c=1是{a_n}為等比數(shù)列的充分必要條件；
其中是正確命題的序號為

 

．（將所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等比數(shù)列前n項和公式和等比數(shù)列的定義能判斷（1）的正誤；利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列定義能判斷（2）的正誤；舉出反例能說明（3）和（4）均不正確；利用等比數(shù)列定義能判斷（5）的正誤．

解答： 解：∵

S2n-Sn

Sn

=

a1(1-q2n) 1-q - a1(1-qn) 1-q

a1(1-qn) 1-q

=qⁿ，

S3n-S2n

S2n

=

a1(1-q3n) 1-q - a1(1-q2n) 1-q

a1(1-q2n) 1-q

=qⁿ，
∴S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和且S_n≠0，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比數(shù)列，
故（1）正確；
∵{a_n}成等差數(shù)列，且常數(shù)c＞0，
∴

cn+1

cn

=

can+d

can

=c^d，
∴數(shù)列{can}為等比數(shù)列，
故（2）正確；
由0構成的常數(shù)列是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列，
故（3）不正確；
當?shù)缺葦?shù)列{a_n}的公比q=1時，等比數(shù)列的前n項和為S_n=na₁，
故（4）不正確；
∵數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=3n-c，
∴a₁=S₁=3-c，a₂=S₂-S₁=9-3=6，a₃=S₃-S₂=27-9=18，
∵{a_n}是等比數(shù)列?36=（3-c）×18，
解得c=1，
∴c=1是{a_n}為等比數(shù)列的充分必要條件，
故（5）正確．
故答案為：（1）（2）（5）．

點評：本題考查命題的真假判斷，若判斷一個命題為真命題，要給出嚴格的證明；若判斷一個命題為假命題，只需舉出反例即可．