Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=

-7x

x2+x+1

．
（1）求f（-4）的值；
（2）求當x＜0時，f（x）的解析式；
（3）試證明函數(shù)y=f（x）（x≥0）在[0，1]上為減函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，f（-4）=f（4），則問題可解；
（2）可先設x＜0，則-x＞0，然后將-x代入f（x）（x＞0）時的解析式，結合奇偶性化簡即可；
（3）利用單調性的定義證明．

解答： 解：（1）由已知得f（-4）=f（4）=-

4

3

．
（2）當x＜0時，-x＞0．
所以f(-x)=

7x

x2-x+1

．
又f（x）是偶函數(shù)．
所以f(x)=f(-x)=

7x

x2-x+1

．
（3）設0＜x₁＜x₂＜1．
所以f(x1)-f(x2)=

-7x1

x12+x1+1

-

-7x2

x22+x2+1

=

7(x1-x2)(x1x2-1)

(x12+x1+1)(x22+x2+1)

．
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以x1-x2＜0，x1x2-1＜0，x12+x1+1＞0，x22+x2+1＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數(shù)y=f（x）（x≥0）在[0，1]上為減函數(shù)．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調性等函數(shù)的性質，對概念的準確理解是解題的關鍵．