Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)的圖象上兩點，且，O為坐標原點，已知點M的橫坐標為．
（Ⅰ）求證：點M的縱坐標為定值；
（Ⅱ）定義定義，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的S_n，設(shè)．若對于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，試求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)條件知M是AB的中點，由中點坐標公式可以求出M點的給坐標．
（II）根據(jù)=，則 以上兩式相加后兩邊再同時除以2就得到S_n，從而求出S₂₀₁₁；
（III）先求出a_n，代入不等式ka_n³-3a_n²+1＞0，要使不等式n³-3n+k＞0對于任意n∈N^*恒成立，即使k＞（-n³+3n）_max即可求出k的范圍．
解答：解：（I）依題意由 知M為線段AB的中點．
又∵M的橫坐標為1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即
∴
即M點的縱坐標為定值 ．
 （II）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時
∴
兩式想加得，2S_n=n-1

∴S₂₀₁₁==1005
（III）．
∴a_n=                                                                                
若對于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，
∴不等式n³-3n+k＞0對于任意n∈N^*恒成立，
即k＞（-n³+3n）_max
∴k＞2
即實數(shù)k的取值范圍為（2，+∞）
點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)、函數(shù)的圖象、不等式等綜合內(nèi)容，函數(shù)圖象成中心對稱的有關(guān)知識，考查相關(guān)方法，考查了數(shù)列中常用的思想方法，如倒序相加法，利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想解答熱點問題--有關(guān)恒成立問題．