【題目】已知拋物線過點，拋物線在處的切線交軸于點，過點作直線與拋物線交于不同的兩點、，直線、、分別與拋物線的準線交于點、、，其中為坐標原點．

（Ⅰ）求拋物線的方程及其準線方程，并求出點的坐標；

（Ⅱ）求證：為線段的中點．

【答案】（Ⅰ）拋物線的方程為，準線方程為，；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可得出拋物線的方程，并可求出拋物線的準線方程，求出切線的方程，進而可求得點的坐標；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線的交點為、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點的坐標，并求出點、的坐標，進而求出線段的中點坐標，由此可證得結(jié)論成立.

（Ⅰ）由拋物線過點，得，

所以拋物線的方程為，準線方程為．

設(shè)切線的方程為，

由，得，

則，

從而的方程為，得；

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與拋物線的交點為、．

由，得，則，．

因為點的坐標為，所以點的坐標為，

直線的方程為，結(jié)合，從而直線，

可得點的坐標為，同理點的坐標為．

因為，

故為線段的中點．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E：（），它的上，下頂點分別為A，B，左，右焦點分別為，，若四邊形為正方形，且面積為2.

（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與橢圓E分別交于點C，D，M，N，且四邊形是菱形，求出該菱形周長的最大值.

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【題目】在中，角、、所對的邊分別為、、，，當角取最大值時，的周長為，則__________．

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【題目】已知函數(shù)，函數(shù)g(x)＝f(1－x)－kx＋k－恰有三個不同的零點，則k的取值范圍是(　　)

A. (－2－，0]∪ B. (－2＋，0]∪

C. (－2－，0]∪ D. (－2＋，0]∪

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【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若對區(qū)間內(nèi)任意兩個不等的實數(shù)，，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知，，分別為的中點，，將沿折起，得到四棱錐，為的中點.

（1）證明：平面；

（2）當正視圖方向與向量的方向相同時，此時的正視圖的面積為，求四棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓的右焦點F為拋物線的焦點，點M為和在第一象限的交點，且．

（Ⅰ）求拋物線的標準方程；

（Ⅱ）若，過焦點F的直線l與相交于A，B兩點，已知，求取得最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點O為坐標原點，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點I，J分別是橢圓C的右頂點、上頂點，△IOJ的邊IJ上的中線長為．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點H（－2，0）的直線交橢圓C于A，B兩點，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系并取相同的單位長度，曲線C2的極坐標方程為.

（1）把曲線C1的方程化為普通方程，C2的方程化為直角坐標方程；

（2）若曲線C1，C2相交于A，B兩點，AB的中點為P，過點P做曲線C2的垂線交曲線C1于E，F兩點，求|PE||PF|.

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