Question

已知圓C：x²+y²-4x-5=0．
（1）過(guò)點(diǎn)（5，1）作圓C的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；
（2）若圓C的弦AB的中點(diǎn)P（3，1），求AB所在直線(xiàn)方程．

Answer 1

分析：（1）化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)線(xiàn)距離等于半徑，可求切線(xiàn)方程，應(yīng)注意有兩條；
（2）設(shè)點(diǎn)作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)，確定弦AB的斜率，即可求得AB所在直線(xiàn)方程．

解答：解：由C：x²+y²-4x-5=0得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=9-----------（2分）
（1）顯然x=5為圓的切線(xiàn)．------------------------（4分）
另一方面，設(shè)過(guò)（5，1）的圓的切線(xiàn)方程為y-1=k（x-5），即kx-y+1-5k=0；
所以d=

|2k-5k+1|

k2+1

=3，解得k=-

4

3

于是切線(xiàn)方程為4x+3y-23=0和x=5．------------------------（7分）
（2）設(shè)所求直線(xiàn)與圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
則有

(x1-2)2+ y 2 1 =9 (x2-2)2+ y 2 2 =9

兩式作差得（x₁+x₂-4）（x₂-x₁）+（y₂+y₁）（y₂-y₁）=0--------------（10分）
因?yàn)閳AC的弦AB的中點(diǎn)P（3，1），所以（x₂+x₁）=6，（y₂+y₁）=2     
所以

y2-y1

x2-x1

=-1，故所求直線(xiàn)方程為 x+y-4=0-----------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的切線(xiàn)，考查中點(diǎn)弦的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解．