Question

已知橢圓

x2

16

+

y2

25

=1的焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上一點(diǎn)，若連接F₁，F(xiàn)₂，P三點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：P、F₁、F₂是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，分兩種情況：兩焦點(diǎn)連線段F₁F₂為直角邊；兩焦點(diǎn)連線F₁F₂為斜邊，計(jì)算P點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入方程得縱坐標(biāo)，即可得到P到y(tǒng)軸距離．

解答： 解：a=5，b=4，c=3，
第一種情況，兩焦點(diǎn)連線段F₁F₂為直角邊，則假設(shè)PF₂為另一個(gè)直角邊且設(shè)為x，因?yàn)閨PF|+|PF₂|=2a=10，所以斜邊PF為（10-x），直角邊FF₂=2c=6．由勾股定理列出方程（10-x）²-x²=6²，解得x為3.2；
第二種情況，兩焦點(diǎn)連線F₁F₂為斜邊，設(shè)P（x，y），則|PF₂|=5-

3

5

x，|PF₁|=5+

3

5

x
∵|F₁F₂|=6，∴（5-

3

5

x）²+（5-

3

5

x）²=36，方程無(wú)解，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是正確分類，求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)．