Question

5．如圖，要測量河對岸C，D兩點間的距離，在河邊一側選定兩點A，B，測出AB的距離為20$\sqrt{3}$m，∠DAB=75°，∠CAB=30°，AB⊥BC，∠ABD=60°．則C，D兩點之間的距離為10$\sqrt{10}$ m．

Answer 1

分析 在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB．在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{BD}{sin∠DAB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，解得BD．在△BCD中，利用余弦定理可得DC．

解答 解：在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB=20$\sqrt{3}$×tan30°=20．
在△ABD中，∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=45°．
由正弦定理可得：$\frac{BD}{sin∠DAB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴BD=$\frac{20\sqrt{3}×sin7{5}^{°}}{sin4{5}^{°}}$=$\frac{20\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=10（3+$\sqrt{3}$）．
在△BCD中，由余弦定理可得：DC²=20²+$100（3+\sqrt{3}）^{2}$-2×20×10（3+$\sqrt{3}$）×cos30°=1000，
解得DC=10$\sqrt{10}$．
故答案為：10$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．