Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD，PA⊥AB，N是棱AD的中點．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求證：PN⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在棱BC上是否存在動點E，使得BN∥平面DEP？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AB⊥平面PAD，再證明：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）證明PN⊥AD，AB⊥PN，利用線面垂直的判定定理證明：PN⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在棱BC上存在點E，使得BN∥平面DEP，此時E為BC的中點，證明BN∥DE即可．

解答 （Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，AB⊥AD．…（1分）
又∵AB⊥PA且PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD．…（3分）
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．…（4分）
（Ⅱ）證明：在△PAD中，PA=PD，N是棱AD的中點，∴PN⊥AD．…（5分）
由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PN．…（7分）
又∵AB∩AD=A，∴PN⊥平面ABCD．…（8分）
（Ⅲ）解：在棱BC上存在點E，使得BN∥平面DEP，此時E為BC的中點．…（10分）
證明如下：
取BC中點E，連接PE，DE．…（11分）
在矩形ABCD中，ND∥BE，ND=BE，
所以四邊形BNDE為平行四邊形，∴BN∥DE．…（13分）
又∵BN?平面DEP，DE?平面DEP，所以BN∥平面DEP．…（14分）

點評 本題考查線面垂面面垂直的判定，考查線面平行的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用定理是關(guān)鍵．