Question

給出下列命題：
①函數y=

x

x2+4

在區(qū)間[1，3]上是增函數；
②函數f（x）=2^x-x²的零點有3個；
③函數y=sin x（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=

∫

x -x

sinxdx；
④若

a

•

b

＜0，則＜

a

，

b

＞的夾角為鈍角．
其中真命題是

 

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①函數f（x）=

x

x2+4

，x∈[1，3]，f′（x）=

4-x2

(x2+4)2

，利用導數研究其單調性即可判斷出正誤；
②由f（-1）f（0）=(

1

2

-1)•(1-0)＜0，可得在區(qū)間（-1，0）內存在一個零點，另外f（2）=f（4）=0，即可判斷出正誤；
③函數y=sin x（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=2

∫

π 0

sinxdx≠

∫

x -x

sinxdx，即可判斷出正誤；
④若

a

•

b

＜0，則＜

a

，

b

＞的夾角為鈍角或平角，即可判斷出正誤．

解答： 解：①函數f（x）=

x

x2+4

，x∈[1，3]，f′（x）=

4-x2

(x2+4)2

，當1≤x＜2時，f′（x）＞0，因此函數在此區(qū)間上是增函數；當2＜x≤3時，f′（x）＜0，因此函數在此區(qū)間上是減函數，因此是假命題；
②∵f（-1）f（0）=(

1

2

-1)•(1-0)＜0，∴在區(qū)間（-1，0）內存在一個零點，另外f（2）=f（4）=0，因此函數f（x）=2^x-x²的零點有3個，是真命題；
③函數y=sin x（x∈[-π，π]）圖象與x軸圍成的圖形的面積是S=2

∫

π 0

sinxdx≠

∫

x -x

sinxdx，是假命題；
④若

a

•

b

＜0，則＜

a

，

b

＞的夾角為鈍角或平角，因此是假命題．
其中真命題是②．
故答案為：②．

點評：本題考查了利用當時研究函數的單調性、微積分基本定理、函數零點存在定理、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．