Question

5．對數列{a_n}，{b_n}，若區(qū)間[a_n，b_n]滿足下列條件：
①$[{{a_{n+1}}，{b_{n+1}}}]?[{{a_n}，{b_n}}]（{n∈{N^*}}）$；
②$\lim_{n→+∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$；則[a_n，b_n]為區(qū)間套，
下列可以構成區(qū)間套的數列是（　�。�

• A． ${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}，{b_n}={（{\frac{2}{3}}）^n}$
• B． ${a_n}={（{\frac{1}{3}}）^n}，{b_n}=\frac{n}{{{n^2}+1}}$
• C． ${a_n}=\frac{n-1}{n}，{b_n}=1+{（{\frac{1}{3}}）^n}$
• D． ${a_n}=\frac{n+3}{n+2}，{b_n}=\frac{n+2}{n+1}$

Answer 1

分析 直接利用已知條件，判斷選項是否滿足兩個條件即可．

解答 解：由題意，對于A，${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}，{b_n}={（{\frac{2}{3}}）^n}$，a_n+1＜a_n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以A不正確；
對于B，a_n+1＜a_n，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以B不正確；
對于C，∵a_n+1＞a_n，b_n＞b_n+1，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）成立，并且$\lim_{n→+∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$，所以C正確；
對于D，∵a_n+1＜a_n，b_n＞b_n+1，∴[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]（n∈N^*）不成立，所以D不正確；
故選：C．

點評 本題考查數列的極限，數列的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．