Question

(本題滿分14分) 
已知函數(shù)處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ） ．（Ⅱ）．

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用已知條件得到參數(shù)關(guān)系式得到解析式，以及根據(jù)函數(shù)的遞增性質(zhì)，得到參數(shù)的范圍。以及直線與曲線相切的直線斜率的范圍。
（1）根據(jù)函數(shù)處取得極值為2．，那么求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則可知導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間恒大于等于零，分離參數(shù)的思想得到，實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）因為圖象上的任意一點，直線l與的圖象相切于點P，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，直線l的斜率的取值范圍．
解：（Ⅰ）已知函數(shù)，∴
又函數(shù)處取值極值2，   ∴
即      ∴ ．     …………………… 5分
（Ⅱ）∵，得
所以的單調(diào)增區(qū)間為[，1]．
因函數(shù)上單調(diào)遞增，       則有，
解得上為增函數(shù)．  ………………… 9分
（Ⅲ）∵，∴．
直線l的斜率,
即, 則
從而得k的取值范圍是．                    ……………………… 14分