Question

15．對于下列命題：
①若關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，則a∈（0，1）；
②已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{a-x}{1+x}$為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為1；
③設(shè)a=sin$\frac{2014π}{3}，b=cos\frac{2014π}{3}，c=tan\frac{2014π}{3}$，則a＜b＜c；
④已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點（不包括邊界），滿足$（{\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}}）•（{\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC}}）=0，則△ABC$必定是等腰三角形．
其中正確命題的序號是②③④（請將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 求出滿足條件的a的范圍，可判斷①；求出滿足條件的a的值，可判斷②；分別求出a，b，c的值，可判斷③；根據(jù)已知判斷三角形的形狀，可判斷④

解答 解：①若關(guān)于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，
則a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$
則a∈[0，1），故①錯誤；
若函數(shù)f（x）=log₂$\frac{a-x}{1+x}$為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0恒成立，
即log₂$\frac{a+x}{1-x}$+log₂$\frac{a-x}{1+x}$=log₂$\frac{{a}^{2}-{x}^{2}}{1{-x}^{2}}$=0恒成立，
故a²=1，
經(jīng)檢驗，當(dāng)a=-1時，不滿足條件，
當(dāng)a=1時，滿足條件，故②正確；
設(shè)a=sin$\frac{2014π}{3}=sin\frac{4π}{3}=-sin\frac{π}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$b=cos\frac{2014π}{3}=cos\frac{4π}{3}=-cos\frac{π}{3}=-\frac{1}{2}$，
$c=tan\frac{2014π}{3}=tan\frac{4π}{3}=tan\frac{π}{3}=\sqrt{3}$，
則a＜b＜c，故③正確；
∵$（\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}）•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PA}-2\overrightarrow{PC}）=0$，
∴$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=0$，
∴$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=0$，
∴${\overrightarrow{CB}}^{2}={\overrightarrow{CA}}^{2}$，
∴${\left|\overrightarrow{CB}\right|}^{\;}=|{\overrightarrow{CA}|}^{\;}$，故△ABC必定是等腰三角形．
故④正確；
故答案為：②③④

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了恒成立問題，函數(shù)的奇偶性，誘導(dǎo)公式，向量的數(shù)量積運算等知識點，難度中檔．