Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a₂=2，且當(dāng)n≥2時，數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足Sn=

nan

2

．
（I）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（Ⅱ）令Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，Q_n是數(shù)列{P_n}的前n項和，求證：Q_n＜2n+3．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)n≥3時，利用遞推公式a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

可得

an

an-1

=

n-1

n-2

，利用累加法可求通項
（II）由等差數(shù)列的求和公式可求s_n，代入Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，結(jié)合數(shù)列的特點可以利用裂項求和

解答：解：（I）當(dāng)n≥3時，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

∴

an

an-1

=

n-1

n-2

∴an=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

…

2

1

•2= 2(n-1)
當(dāng)n=1，2時，上式成立
∴a_n=2（n-1）
（II）證明：由（I）可得Sn=

2n(n-1)

2

=n(n-1)
∴Pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=

(n+2)(n+1)

(n+1)n

+

n(n+1)

(n+1)(n+2)

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

∴Qn=2n+2(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=2n+3-

4n+6

(n+1)(n+2)

＜2n+3

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式及裂項、分組求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的簡單應(yīng)用．