已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足條件：①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實數(shù)x，f（x）≥
1
4a
-
1
2
恒成立．請解決下列問題：
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上不單調(diào)，求實數(shù)k的取值范圍．
考點：二次函數(shù)的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）由已知可得：函數(shù)圖象關(guān)于直線x=
3
2
對稱，f（1）=0，函數(shù)的最小值為
1
4a
-
1
2
，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程組，解得f（x）的解析式．
（2）若g（x）=f（x）-kx在[-2，2]上不單調(diào)，則-2＜
3+k
2
＜2，解得實數(shù)k的取值范圍．
解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c滿足條件：①f（3-x）=f（x），即函數(shù)圖象關(guān)于直線x=
3
2
對稱；
②f（1）=0；
③對任意實數(shù)x，f（x）≥
1
4a
-
1
2
恒成立，即函數(shù)存在最小值
1
4a
-
1
2
．
∴
a＞0
-
b
2a
=
3
2
a+b+c=0
4ac-b2
4a
=
1
4a
-
1
2
，
解得：
a=1
b=-3
c=2
，
∴f（x）=x2-3x+2，
（2）若g（x）=f（x）-kx=x2-（3+k）x+2在[-2，2]上不單調(diào)，
則-2＜
3+k
2
＜2，
解得：-7＜k＜1．
點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；
（2）求這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；
（3）求這次測試數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)．

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已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．
（1）證明：PF⊥FD；
（2）在線段PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD，若存在，確定點G的位置；若不存在，說明理由；
（3）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

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已知函數(shù) f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式 f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且 a≠0，求 f（ab）＞|a|f（
b
a
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，0是坐標(biāo)原點，且∠AOP=
π
6
，∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（Ⅰ）若點Q的坐標(biāo)是（m，
6
3
），求cos（α-
π
6
）的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（α）=
OP
•
OQ
，求f（α）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x+
1
x
+1，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C上的動點P（x，y）滿足到點F（0，1）的距離比到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）動點E在直線l上，過點E分別作曲線C的切線EA、EB，切點為A、B．
（i）求證：直線AB恒過一定點，并求出該定點的坐標(biāo)；
（ii）在直線l上是否存在一點E，使得△ABM為等邊三角形（M是線段AB的中垂線與直線l的交點）？若存在，求出點E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點M（x，y）為拋物線y2=4x上的動點，A（a，0）為定點，求|MA|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若拋物線y2=x上存在兩點關(guān)于直線y=m（x-3）對稱，則m的范圍為
 
．

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