Question

若關于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，則實常數(shù)λ的取值范圍是

（-∞，-1]

．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，可得當n∈N^*時，(

1

2

)n的最大值為

1

2

，則可將問題轉化為x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得實常數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：當n∈N^*時，(

1

2

)n的最大值為

1

2

則關于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，
即x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∵f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

的圖象是開口朝上，且以x=-

1

4

為對稱軸的拋物線
則當λ≤-

1

4

時，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，λ]上單調遞減，
若f（x）≥0，即f（λ）≥0，解得λ≤-1
當λ＞-

1

4

時，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，-

1

4

]上單調遞減，[-

1

4

，λ]單調遞增
若f（x）≥0，即f（-

1

4

）≥0，此時不滿足條件
綜上λ≤-1
即常數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-1]

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)的性質及二次函數(shù)的圖象和性質是解答的關鍵．