已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-x2+ax+b的圖象在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y=3x-2.
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)h(x)=f(x)-6x(x∈R),求函數(shù)h(x)的極大值和極小值;
(3)設(shè)f(x)=f(x)+
m
x-1
是[2,+∞)上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率,點(diǎn)斜式求得切線(xiàn)方程,和已知的切線(xiàn)方程比較系數(shù)可得a、b值.
(2)求出 h′(x),利用h′(x)研究h(x)的單調(diào)性,由單調(diào)性求出h(x)的極值.
(3)化簡(jiǎn)k(x)=f(x)+
m
x-1
的解析式,由題意得x≥2時(shí),導(dǎo)數(shù)k′(x)≥0 恒成立,即x≥2時(shí),m≤(x2-2x+3)(x-1)2 恒成立,故m 小于或等于(x2-2x+3 )(x-1)2 的最小值3.
解答:解:(1)∵f(0)=b,∴點(diǎn)P (0,b).∵f′(x)=x2-2x+a,
∴函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)斜率為 a,故此處的切線(xiàn)方程為  y-b=a (x-0),
即 y=ax+b.又已知此處的切線(xiàn)方程為y=3x-2,∴a=3,b=-2.
(2)∵h(yuǎn)(x)=f(x)-6x=
1
3
x3-x2+ax+b-6x=
1
3
x3-x2 -3x-2,
∴h′(x)=x2-2x-3,令 h′(x)=0,得 x=-1,或 x=3.
在x=-1的左側(cè),h′(x)>0,在x=-1的右側(cè),h′(x)<0,故h(x)在x=-1處取極大值為-
1
3

在x=3 的左側(cè),h′(x)<0,在x=3的右側(cè),h′(x)>0,故h(x)在x=-1處取極小值為-11.
(3)∵k(x)=f(x)+
m
x-1
=
1
3
x3-x2+3x-2+
m
x-1
,k′(x)=x2-2x +3 - 
m
(x-1)2

由題意得,k′(x)在[2,+∞)上 大于或等于0,即 x≥2時(shí),x2-2x +3 -
m
(x-1)2
≥0 恒成立,
即 m≤(x2-2x+3 )(x-1)2 恒成立.
∵(x2-2x+3 )(x-1)2 在[2,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),故x≥2時(shí)(x2-2x+3 )(x-1)2 的最小值為3,
∴m≤3.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,求出x≥2時(shí)(x2-2x+3 )(x-1)2 的最小值是
解題的難點(diǎn).
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已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( 。
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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1,x∈Q
0,x∉Q
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ax
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1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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π
6
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