【題目】已知函數(shù) (k為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的單調區(qū)間;
(3)設g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)為f(x)的導函數(shù).證明:對任意x>0,g(x)<1+e2

【答案】
(1)解:∵f′(x)= ,x∈(0,+∞),

且y=f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行,

∴f′(1)=0,

∴k=1;


(2)解:由(1)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),

令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),

當x∈(0,1)時,h(x)>0,當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,

又ex>0,

∴x∈(0,1)時,f′(x)>0,

x∈(1,+∞)時,f′x)<0,

∴f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減;


(3)證明:∵g(x)=(x2+x)f′(x),

∴g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),

x>0,g(x)<1+e21﹣x﹣xlnx< (1+e2),

由(2)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),

∴h′(x)=﹣(lnx﹣lne2),x∈(0,+∞),

∴x∈(0,e2)時,h′(x)>0,h(x)遞增,

x∈(e2,+∞)時,h(x)<0,h(x)遞減,

∴h(x)max=h(e2)=1+e2,

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e2,

設m(x)=ex﹣(x+1),

∴m′(x)=ex﹣1=ex﹣e0,

∴x∈(0,+∞)時,m′(x)>0,m(x)遞增,

∴m(x)>m(0)=0,

∴x∈(0,+∞)時,m(x)>0,

>1,

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e2 (1+e2),

x>0,g(x)<1+e2


【解析】(1)先求出f′(x)= ,x∈(0,+∞),由y=f(x)在(1,
f(1))處的切線與x軸平行,得f′(1)=0,從而求出k=1;(2)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),求出h(x)的導數(shù),從而得f(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減;(3)因g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),得1﹣x﹣xlnx≤1+e2 , 設m(x)=ex﹣(x+1),得m(x)>m(0)=0,進而1﹣x﹣xlnx≤1+e2 (1+e2),問題得以證明.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減,以及對函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內的極值;(2)/span>將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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A. B. C. D.

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A.
B.
C.
D.

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