Question

（2009•湖北模擬）給出定義：在數(shù)列{a_n}中，都有

a

2 n

-

a

2 n-1

=p(n≥2，n∈N*)（ p為常數(shù)），則稱{a_n}為“等方差數(shù)列”．下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：
（1）數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{

a

2 n

}是等差數(shù)列；
（2）數(shù)列{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；
（3）若數(shù)列{a_n}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列必為常數(shù)數(shù)列；
（4）若數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列．
其中正確命題序號為

（1）（2）（3）（4）

．

Answer 1

分析：（1）利用等方差和等差數(shù)列的定義去判斷．（2）利用等方差的定義判斷．（3）利用等方差數(shù)列和等差數(shù)列的定義．（4）先表示出{a_kn}的通項(xiàng)公式，然后利用等方差的定義進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）若數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則有

a

2 n

-

a

2 n-1

=p(n≥2，    n∈N*)，則數(shù)列{

a

2 n

}是公差為p的等差數(shù)列，所以（1）正確．
（2）若數(shù)列為{（-1）ⁿ}是，則an2-an-12=1n-1n=0，所以數(shù)列{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列，所以（2）正確．
（3）若數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則an2-an-12=p，即（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=p，
因?yàn)閧a_n}是等差數(shù)列，所以a_n-a_n-1=d，所以（a_n+a_n-1）d=p，
1°當(dāng)d=0時(shí)，數(shù)列{a_n}是常數(shù)列．
2°當(dāng)d≠0時(shí)，an=

d

2

+

p

2d

，所以數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，綜上數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，所以（3）正確．
（4）數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)列舉出來是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
數(shù)列{a_kn}中的項(xiàng)列舉出來是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
因?yàn)椋╝_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
所以（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
所以（a_kn+1²-a_kn²）=kp
所以{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）是等方差數(shù)列．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查新定義以及等差數(shù)列的定義及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意掌握數(shù)列的概念，以及推理過程．