Question

【題目】如圖，已知在棱柱的面底是菱形，且面ABCD，

為棱的中點，M為線段的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）因為底面是菱形，所以AC⊥面BDD1B，又MF∥AC，所以MF⊥面BDD1B，即平面平面；（2）過點B作BH⊥AD于H，可證出BH⊥平面ADD1A1，從而BH是三棱錐B﹣DD1F的高，求出△DD1F的面積，計算出三棱錐D1﹣BDF的體積．

試題解析：

（1）證明：∵底面是菱形，

∴AC⊥BD；

又∵B1B⊥面ABCD，AC面ABCD

∴AC⊥B1B，BD∩B1B=B，

∴AC⊥面BDD1B1

又∵MF∥AC，

∴MF⊥面BDD1B1；

又∵MF平面D1FB，

∴平面D1FB⊥平面BDD1B1；

（2）如圖，過點B作BH⊥AD，垂足為H，

∵AA1⊥平面ABCD，BH平面ABCD，

∴BH⊥AA1，

∵AD、AA1是平面ADD1A1內(nèi)的相交直線，

∴BH⊥平面ADD1A1，

在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=AD=1，

∴BH=ABsin60°=，

∴三棱錐D1﹣BDF的體積為

V==×S△DD1FBH=××1×1×=．