Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，如果一個橢圓經(jīng)過點P（3，

2

），且以點F（2，0）為它的一個焦點．
（1）求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在（1）中求過點F（2，0）的弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知條件推導(dǎo)出

a2=b2+4 9 a2 + 2 b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x，y），由已知條件推導(dǎo)出x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，

x12 12 + y12 8 =1 x22 12 + y22 8 =1

，由此利用點差法能求出點M的軌跡方程．

解答： 解：（1）設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓經(jīng)過點P（3，

2

），且以點F（2，0）為它的一個焦點，
∴

a2=b2+4 9 a2 + 2 b2 =1

，解得：

a2=12 b2=8

，
∴所求橢圓方程為：

x2

12

+

y2

8

=1．（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x，y），
∵弦AB的中點是M，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵A，B都在

x2

12

+

y2

8

=1上，
∴

x12 12 + y12 8 =1 x22 12 + y22 8 =1

，
當(dāng)x₁≠x₂時，

y1-y2

x1-x2

=-

8(x1+x2)

12(y1+y2)

=-

2

3

?

2x

2y

=-

2

3

?

x

y

，
又∵k_AB=k_MF=

y-0

x-2

，
∴-

2

3

?

x

y

=

y-0

x-2

，
整理得：2x²+3y²-4x=0；當(dāng)x₁=x₂時，中點M（2，0）滿足條件，
總上可知：所求軌跡方程為：2x²+3y²-4x=0．（10分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法的合理運用．