Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，設(shè)點(diǎn)Q是曲線$\frac{x^2}{3}$+y²=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)Q（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），求出點(diǎn)Q到直線x-y+4=0的距離，利用三角函數(shù)性質(zhì)能求出點(diǎn)到直線l的距離的最小值．

解答 解：∵點(diǎn)Q是曲線$\frac{x^2}{3}$+y²=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)Q（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），
點(diǎn)Q到直線x-y+4=0的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{2π}{3}）+4|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{2π}{3}$）=-1時(shí)，它到直線l的距離的最小值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓參數(shù)方程的性質(zhì)的合理運(yùn)用．