Question

17．已知集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}，函數(shù)f（x）滿足：①函數(shù)f（x）的定義域為A；②函數(shù)f（x）的圖象關于原點對稱；③當x∈[-2，0）時，f（x）=-（$\frac{1}{2}$）^x+1，函數(shù)g（x）=x²-mx+n（m，n∈R）的圖象在（1，g（1））處的切線垂直于y軸，若?x₁∈A，?x₂∈A，使得f（x₁）-g（x₂）=0，則n的取值范圍為[-5，-2]．

Answer 1

分析 先求的函數(shù)f（x）的解析式，可得函數(shù)f（x）的值域，再根據在區(qū)間[-2，2]上，g（x）的值域包含f（x）的值域[-3，3]，可得g（1）=-1+n≤-3，且g（-2）=8+n≥3，由此求得n的范圍．

解答 解：由①可得f（x）的定義域為集合A={x|y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$}=[-2，2]，
由②可得f（x）為奇函數(shù)，故有f（0）=0．
設x∈（0，2]，則-x∈[-2，0），
由③可得f（-x）=-${（\frac{1}{2}）}^{-x}$+1=-f（x），∴f（x）=（$\frac{1}{2}$）^-x-1．
綜上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-（\frac{1}{2}）}^{x}+1，-2≤x＜0}\\{0，x=0}\\{{（\frac{1}{2}）}^{-x}-1，0＜x≤2}\end{array}\right.$，
故f（x）在R上是減函數(shù)，且f（x）∈[-3，3]．
∵函數(shù)g（x）=x²-mx+n（m，n∈R）的圖象在（1，g（1））處的切線垂直于y軸，
∴g′（1）=2-m=0，即m=2，g（x）=x²-2x+n．
∵?x₁∈A，?x₂∈A，使得f（x₁）-g（x₂）=0，
故在區(qū)間[-2，2]上，g（x）的值域包含f（x）的值域[-3，3]，
故g（1）=-1+n≤-3，且g（-2）=8+n≥3，求得-5≤n≤-2，
故答案為：[-5，-2]．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的定義域和值域，分段函數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質，屬于中檔題．