【題目】已知和定點,由外一點向引切線,切點為,且滿足.(1)求實數(shù)間滿足的等量關系;
(2)求線段長的最小值;
(3)若以為圓心所作的與有公共點,試求半徑取最小值時的方程.
【答案】(1).(2).(3).
【解析】試題分析:(1)連,由勾股定理可得,化簡可得實數(shù)間滿足的等量關系;(2)由于,根據(jù)間的等量關系及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段長的最小值;(3)解法一:設的半徑為,根據(jù)題設條件可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值,此時,求得, 取得最小值,從而得到圓的方程;解法二:根據(jù)的軌跡設出直線,由與有公共點,欲求半徑最小,即為與外切時半徑最小,然后可求出半徑最小值及垂直直線的方程,即可求出此時圓心的坐標,故而求出方程.
試題解析:(1)連
∵為切點, ,由勾股定理有
又由已知,故.即: .
化簡得實數(shù)間滿足的等量關系為: .
(2)由,得.
.
故當時, ,即線段長的最小值為.
(3)解法一:設的半徑為
∵與有公共點, 的半徑為1,
∴.即且.
而,
故當時, .此時, , .
得半徑取最小值時的方程為.
解法二:由題意可得的軌跡方程是,設為直線
與有公共點, 半徑最小時為與外切(取小者)的情形,而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1,圓心為過原點與垂直的直線與的交點.
.
又,
解方程組,得,即.
∴所求圓方程為.
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【題目】某家庭進行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預測,投資類產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資類產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.
(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關系;
(2)該家庭有20萬元資金,全部用于理財投資,問:怎么分配資金能使投資獲得最大收益,其最大收益是多少萬元?
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【題目】設z1 , z2是復數(shù),則下列命題中的假命題是( )
A.若|z1﹣z2|=0,則 =
B.若z1= ,則 =z2
C.若|z1|=|z2|,則z1 =z2
D.若|z1|=|z2|,則z12=z22
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+5(a>1).
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1,a],求實數(shù)a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上是減函數(shù),且對任意的x∈[1,a+1],總有f(x)≤0,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】為了緩解交通壓力,某省在兩個城市之間特修一條專用鐵路,用一列火車作為公共交通車.已知每日來回趟數(shù)y是每次拖掛車廂節(jié)數(shù)x的一次函數(shù),如果該列火車每次拖4節(jié)車廂,每日能來回16趟;如果每次拖6節(jié)車廂,則每日能來回10趟,火車每日每次拖掛車廂的節(jié)數(shù)是相同的,每節(jié)車廂滿載時能載客110人.
(1)求出y關于x的函數(shù);
(2)該火車滿載時每次拖掛多少節(jié)車廂才能使每日營運人數(shù)最多?并求出每天最多的營運人數(shù)?
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【題目】已知函數(shù),給出下列結論:
(1)若對任意,且,都有,則為R上的減函數(shù);
(2)若為R上的偶函數(shù),且在內(nèi)是減函數(shù), (-2)=0,則>0解集為(-2,2);
(3)若為R上的奇函數(shù),則也是R上的奇函數(shù);
(4)t為常數(shù),若對任意的,都有則關于對稱。
其中所有正確的結論序號為_________
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【題目】設函數(shù)f(x)= ,g(x)=lnx+ (a>0).
(1)求函數(shù)f(x)的極值;
(2)若x1、x2∈(0,+∞),使得g(x1)≤f(x2)成立,求a的取值范圍.
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