Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F到其準線的距離為2，直線l與拋物線C相交于A、B兩點
（1）求出拋物線C的方程以及焦點坐標，準線方程；
（2）若直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，當(dāng)線段AB的長為5時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的焦點F到準線的距離為2，求出p的值，可得拋物線C的方程，可得焦點坐標，準線方程；
（2）設(shè)直線l：x=ty+1，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合弦長，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）∵拋物線的焦點F到準線的距離為2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；焦點F（1，0），準線方程x=-1；
（2）設(shè)直線l：x=ty+1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
代入y²=4x，消去x得y²-4ty-4=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4，
∴|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}•\sqrt{16{t}^{2}+16}$=5
∴t=$±\frac{1}{2}$，∴直線l：x=$±\frac{1}{2}y+1，即$2x-y-2=0或2x+y-2=0．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．