Question

某汽車銷售公司為促銷采取了較為靈活的付款方式,對購買10萬元一輛的轎車在一年內(nèi)將款全部付清的前提下,可以選擇以下兩種分期付款的方案購車:

方案一:分3次付清,購買后4個月第1次付款,再過4個月第2次付款,再過4個月第3次付款.

方案二:分12次付清,購買后1個月第1次付款,再過1個月第2次付款,…,購買后12個月第12次付款.

規(guī)定分期付款中每期付款額相同,月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計算,即指上月利息要計入下月的本金.

(1)試比較以上兩種方案的哪一種方案付款總額較少?

(2)若汽車銷售公司將收回的售車款進(jìn)行再投資,可獲月增長2%的收益,為此對一次性付款給予降價p%的優(yōu)惠,為保證一次性付款經(jīng)一年后的本金低于方案一和方案二中較少一種的付款總額,且售車款再投資一年后的本金要高于車價款一年的本金,試確定p的取值范圍.

(注:計算結(jié)果保留三位有效數(shù)字,參考數(shù)據(jù):1.008³≈1.024,1.008⁴≈1.033,1.008¹¹≈1.092,1.008¹²≈1.1,1.02¹¹≈1.243,1.02¹²≈1.268)

Answer 1

解:(1)對于方案一,設(shè)每次付款額為x₁萬元,那么一年后,第一次付款的本金為1.008⁸x₁萬元,第2次付款的本金為1.008⁴x₁萬元,第3次付款的本金為x₁萬元,則1.008⁸x₁+1.008⁴x₁+x₁=10×1.008¹².

    解得x₁≈3.63(萬元).

    付款總額為3×3.63=10.89(萬元).

    對方案二,設(shè)每次付款為x₂萬元,那一年后,

    第一次付款的本金為1.008¹¹x₂萬元,第2次付款的本金為1.008¹⁰x₂萬元,…,第12次付款的本金為x₂萬元.

    則1.008¹¹x₂+1.008¹⁰x₂+…+1.008x₂+x₂=10×1.008¹².

    解得x₂≈0.88(萬元),

    付款總額為12×0.88=10.56(萬元).

    顯然,第二種方案付款總額較少.

    (2)如果降低p%的售車款為10(1-p%),那么一年后產(chǎn)生的本金為10(1-p%)×1.008¹²,而轉(zhuǎn)入再投資所產(chǎn)生的本金為10(1-p%)(1+2%)¹²,

    則依題意有

    解得4＜p＜13.2.

講評:復(fù)利計算是一種等比數(shù)列的模型,本題兩種方案的復(fù)利計算公比不同,運算要求也很高.本題雖然主要考查的是數(shù)列知識,但綜合程度很大,和不等式、二項式定理的計算融合在一起,難度就隨之增大了.