Question

某商品每件成本5元，售價(jià)14元，每星期賣出75件．如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)m與商品單價(jià)的降低值x（單位：元，0≤x＜9）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低1元時(shí)，一星期多賣出5件．
（1）將一星期的商品銷售利潤(rùn)y表示成x的函數(shù)；
（2）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）依題意，設(shè)m=kx²，由已知有5=k•1²，可求得k值，根據(jù)單件利潤(rùn)×銷售量可得函數(shù)式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)的最大值，注意函數(shù)定義域；

解答： 解：（1）依題意，設(shè)m=kx²，由已知有5=k•1²，從而k=5，
∴m=5x²，
∴y=（14-x-5）（75+5x²）=-5x³+45x²-75x+675（0≤x＜9）；
（2）∵y′=-15x²+90x-75=-15（x-1）（x-5），
由y′＞0，得 1＜x＜5，由y′＜0，得 0≤x＜1或5＜x＜9，
可知函數(shù)y在[0，1）上遞減，在（1，5）遞增，在（5，9）上遞減，
從而函數(shù)y取得最大值的可能位置為x=0或是x=5，
∵y（0）=675，y（5）=800，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y_max=800，
答：商品每件定價(jià)為9元時(shí)，可使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)模型的構(gòu)建問(wèn)題，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力．