Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1，記f（x）=g（|x|）．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）對于任意滿足p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=q（n∈N^*，n≥3）的自變量x₀，x₁，x₂，…，x_n，如果存在一個常數(shù)M＞0，使得定義在區(qū)間[p，q]上的一個函數(shù)m（x），|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，則稱函數(shù)m（x）為區(qū)間[p，q]上的有界變差函數(shù)．試判斷函數(shù)f（x）是否區(qū)間[1，3]上的有界變差函數(shù)，若是，求出M的最小值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由g（x）的對稱軸x=1得g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，得方程組求出a，b即可；（2）由（1）求出f（x）的表達式，解不等式求出即可；（3）由f（x）的表達式得f（x）為[1，3]上的單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)有界變差函數(shù)的概念求出即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
又a＞0，∴g（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，
故

g(2)=1 g(3)=4

，
解得：a=1，b=0．  
（2）由（1）得：g（x）=x²-2x+1，
故f（x）=x²-2|x|+1是偶函數(shù)，
∴不等式f（

log

k 2

）＞f（2）可化為|

log

k 2

|＞2，
解得：k∈（0，

1

4

）∪（4，+∞）．  
（3）∵f（x）=

x2-2x+1，    x≥1 x2+2x+1，   x＜1

，
∴f（x）為[1，3]上的單調(diào)遞增函數(shù)，
則對于任意滿足1=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=3（n∈N^*，n≥3）的自變量x₀，x₁，x₂，…，x_n，
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜f（x₂）＜…＜f（x_n-1）＜f（x_n）=f（3），
∴|f（x₁）-f（x₀）|+|f（x₂）-f（x₁）|+…+|f（x_n）-f（x_n-1）|
=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x_n-1）
=f（3）-f（1）
=4，
∴存在常數(shù)M≥4，使得
|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M．  
函數(shù)f（x）為區(qū)間[1，3]上的有界變差函數(shù)．即M的最小值為4．

點評：本題考察了函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，新概念問題，是一道綜合題．