已知數(shù)列{an}的各項均滿足a1=3,a2=9,an+1•an-1=an2(n≥2,n∈N)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式是bn=
1
log3anlog3an+1
,前n項和為Tn,求證:對于任意的正數(shù)n,總有Tn<1.
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合
專題:計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知得an+1•an-1=an2(n≥2,n∈N),所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,結(jié)合a1=3,q=3求數(shù)列{an}的通項公式
(2)由(1)bn=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
,利用裂項求和法得出Tn=1-
1
n+1
<1.
解答: (1)解:由已知得an+1•an-1=an2(n≥2,n∈N),所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列.            
因為a1=3,a2=9∴q=3,
∴an=3•3n-1=3n
(2)證明:由(1)∵bn=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴Tn=b1+b2+…+bn
=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…(
1
n
-
1
n+1
)

=1-
1
n+1
<1
點評:本題考查等比數(shù)列的判定,通項公式求解,裂項求和法,考查計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={(x,y)︳x2+y2=1},B={(x,y)︳且x+y=1},則集合A∩B的元素個數(shù)為(  )
A、4B、3C、2D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知
a
,
b
為單位向量,則下列正確的是(  )
A、
a
-
b
=0
B、
a
+
b
=2
a
=2
b
C、|
a
|-|
b
|=0
D、
a
b
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列5個判斷:
①任取x∈R,都有3x>2x; 
②當(dāng)a>1時任取x∈R都有ax>a-x;
③函數(shù)y=(
2
-x是增函數(shù); 
④函數(shù)y=2|x|的最小值是1;
⑤在同一坐標(biāo)系中函數(shù)y=2x與y=2-x的圖象關(guān)于y軸對稱.
其中正確的是( �。�
A、①②④B、④⑤
C、②③④D、①⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若一個正三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)視圖的面積等于( �。�
A、
3
B、2
C、2
3
D、6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
1
3
x3-ax2-x,(x∈R)
(1)若函數(shù)f(x)在點A(1,f(1))處的切線達(dá)到斜率的最小值,求a的值;
(2)函數(shù)g(x)=f′(x)+alnx,且g(x)恒有兩個極值點,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

f(x)=x-a(x+1)ln(x+1).
(Ⅰ)求f(x)的極值點;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時,若方程f(x)=t在[-
1
2
,1]上有兩個實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)m>n>0時,(1+m)n<(1+n)m

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x+2,x≤-1
2x,-1<x<2
x2
2
,x≥2

(1)求f{f[f(-
7
4
)]}
(2)若f(a)=3,求a的值;
(3)畫出f(x)的圖象.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx+c圖象上的點P(1,f(1))處的切線方程為y=-3x+1
(1)若函數(shù)f(x)在x=-2時有極值,求f(x)的表達(dá)式;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上單調(diào)遞減,求實數(shù)b的取值范圍.

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