Question

已知函數(shù)f（x）=3x²-2x，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)f（x）的圖象上
（1）求證：{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=

3

an•an+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意得S_n=3n²-2n，根據(jù)“n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”，可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再證明數(shù)列：{a_n}為等差數(shù)列；
（2）由（1）和條件求出b_n，利用裂項(xiàng)相消法求出T_n的表達(dá)式，再由n的范圍求出T_n的范圍，根據(jù)不等式恒成立求出滿足條件的最大正整數(shù)m的值．

解答： 證明：（1）由題意得，S_n=3n²-2n，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，符合上式，
所以a_n=6n-5，
則數(shù)列{a_n}以6為公差、1為首項(xiàng)的等差數(shù)列；
解：（2）由（1）得，a_n=6n-5，
所以b_n=

3

an•an+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

（

1

6n-5

-

1

6n+1

），
則T_n=

1

2

[（1-

1

7

）+（

1

7

-

1

13

）+…+（

1

6n-5

-

1

6n+1

）]
=

1

2

（1-

1

6n+1

）
因?yàn)閚∈N^*，所以

1

6n+1

＞0，即T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

1

2

，
又T_n＜

m

20

對(duì)所有n∈N^*都成立，
所以

m

20

≥

1

2

，則m≥10，
所以滿足條件的最小正整數(shù)m為：10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列a_n與S_n的關(guān)系，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，試題具有一定的綜合性．